מכפלה סקלרית – חישוב, אורך, ניצבות וזוויתוקטורים 472 · שיעור 10
וקטורים · שאלון 472
שיעור 10: מכפלה סקלרית – חישוב, אורך, ניצבות וזווית
פרק 3 – מכפלה סקלרית: אורך, זווית, ניצבות ושטח
1נוסח השאלה
2סעיף א – המכפלות הסקלריות
3סעיף ב – האורך של AB
4סעיף ג – AB מאונך ל־SC
5סעיף ד – הזווית SAB
6סעיף ה – שטח המשולש ASB
📄 נוסח השאלה
בפירמידה SABC נסמן: SA = u , SB = v , SC = w.
נתון: |u| = 4 , |v| = 3 , |w| = 2 , ∡ASB = 60 מעלות, והמקצוע SC מאונך למקצועות SA ו־SB.
א. חשבו את המכפלות הסקלריות u · v , u · w , v · w.
ב. הביעו את AB באמצעות u ו־v, וחשבו את האורך של AB.
ג. הראו כי AB מאונך ל־SC.
📄 נוסח השאלה · המשך
ד. חשבו את גודל הזווית SAB.
ה. חשבו את שטח המשולש ASB.
סעיף א – המכפלות הסקלריות
u · v: הזווית בין SA ל־SB היא ∡ASB = 60 מעלות:
u · v = |u| · |v| · cos ∡ASB
📐 מכפלה סקלרית
נציב |u| = 4 , |v| = 3 , ∡ASB = 60:
u · v = 4 · 3 · cos 60 = 12 · 12 = 6
u · w ו־v · w: SC מאונך ל־SA ול־SB (זווית של 90 מעלות):
u · w = 0
📐 וקטורים מאונכים
📐 מכפלה סקלרית
a · b = |a| · |b| · cos(∡)
📐 וקטורים מאונכים
a ⊥ b → a · b = 0
סעיף א – המכפלות הסקלריות · המשך
u · w = 0
📐 וקטורים מאונכים
v · w = 0
✅ פתרון סופי: u · v = 6 , u · w = 0 , v · w = 0
📐 וקטורים מאונכים
a ⊥ b → a · b = 0
סעיף ב – האורך של AB
AB = SB − SA = v − u
📐 חיסור וקטורים (שני וקטורים מאותה נקודה)
כדי למצוא אורך, מעלים את הווקטור בריבוע (כופלים אותו בעצמו):
|AB|2 = (v − u) · (v − u)
📐 ריבוע של וקטור
|AB|2 = |v|2 − 2u · v + |u|2
נציב |v|2 = 9 , u · v = 6 , |u|2 = 16:
|AB|2 = 9 − 2 · 6 + 16 = 13
📐 חיסור וקטורים (שני וקטורים מאותה נקודה)
XZ − XY = YZ
📐 ריבוע של וקטור
a · a = |a|2
סעיף ב – האורך של AB · המשך
|AB|2 = 9 − 2 · 6 + 16 = 13
|AB| = √13 ≈ 3.61
✅ פתרון סופי: AB = v − u , |AB| = √13 ≈ 3.61
סעיף ג – AB מאונך ל־SC
מספיק להראות שהמכפלה הסקלרית של AB ו־SC שווה 0:
AB · SC = (v − u) · w = v · w − u · w
📐 פתיחת סוגריים במכפלה סקלרית
נציב v · w = 0 , u · w = 0 (מסעיף א):
AB · SC = 0 − 0 = 0
(AB · SC = 0) → AB ⊥ SC
📐 וקטורים מאונכים
✅ פתרון סופי: הוכח: AB ⊥ SC
📐 פתיחת סוגריים במכפלה סקלרית
(a − b) · c = a · c − b · c
📐 וקטורים מאונכים
a · b = 0 → a ⊥ b
סעיף ד – הזווית SAB
הזווית SAB היא הזווית בין שני וקטורים שיוצאים מ־A: AS = −u ו־AB = v − u.
AS · AB = −u · (v − u) = −u · v + |u|2
נציב u · v = 6 , |u|2 = 16:
AS · AB = −6 + 16 = 10
cos(∡SAB) = AS · AB|AS| · |AB|
📐 זווית בין וקטורים
נציב AS · AB = 10 , |AS| = |u| = 4 , |AB| = √13:
📐 זווית בין וקטורים
cos(∡) = a · b|a| · |b|
סעיף ד – הזווית SAB · המשך
נציב AS · AB = 10 , |AS| = |u| = 4 , |AB| = √13:
cos(∡SAB) = 104 · √13 ≈ 0.6934
∡SAB ≈ 46.10
✅ פתרון סופי: ∡SAB ≈ 46.10 מעלות
סעיף ה – שטח המשולש ASB
שתי צלעות והזווית ביניהן: SA = 4 , SB = 3 , ∡ASB = 60 מעלות.
S = SA · SB · sin ∡ASB2
📐 שטח משולש (שתי צלעות והזווית ביניהן)
נציב SA = 4 , SB = 3 , ∡ASB = 60:
S = 4 · 3 · sin 602 = 6 · √32 = 3√3 ≈ 5.20
✅ פתרון סופי: S = 3√3 ≈ 5.20 יחידות שטח
📐 שטח משולש (שתי צלעות והזווית ביניהן)
S = a · b · sin(∡)2
📌 סיכום התשובות
סעיף א
u · v = 6 , 0 , 0
סעיף ב
√13 ≈ 3.61
סעיף ג
הוכח
סעיף ד
≈ 46.10 מעלות
סעיף ה
3√3 ≈ 5.20
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא